Dijkstra算法

算法简介

Dijkstra算法是一种求最短路的算法，在使用优先队列进行优化后时间复杂度比较优秀。

算法原理

如果图是不带负权的有向图或者无向图，我们可以从s点开始寻找它的所有出边，与数组dis（每个点离原点s点的最短距离）进行比较，如果有小于dis[v]的路径，则松弛该点，最后可以得到一个所有最短路径的表。

算法步骤

1. 初始化dis数组，原点赋值为0，其它点全部赋值为INF（为原点到该点的距离）。
2. 重复n次操作，找到x的所有出边，对需要进行松弛的边进行松弛。

该算法的时间复杂度为$O(n^2)$，使用优先队列优化后的算法时间复杂度为$O((n+m)\log m)$。

文中代码边的存储使用链式前向星实现。

算法模板

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <queue>
#include <algorithm>
using namespace std;

const int INF = 0x7fffffff;
const int MAXN = 5 * 10e5 + 5;
int n, m, s;
int dis[MAXN], book[MAXN], head[MAXN], cnt = 1;
priority_queue<pair<int, int> > que;

// 链式前向星
struct Edge {
    int next, to, w;
} e[MAXN];

// 加一条边
void add(int u, int v, int w) {
    e[cnt].w = w;
    e[cnt].to = v;
    e[cnt].next = head[u];
    head[u] = cnt++;
}

int main() {
    cin >> n >> m >> s;
    memset(head, -1, sizeof(head));
    memset(book, 0, sizeof(book));
    fill(dis, dis + MAXN, INF);

    // 读入边
    for (int i = 1; i <= m; i++) {
        // 有向带权图
        int u, v, w;
        cin >> u >> v >> w;
        add(u, v, w);
    }

    // Dijkstra
    dis[s] = 0;
    que.push({0, s});
    while (!que.empty()) {
        int x = que.top().second;
        que.pop();

        // 请勿重复查找
        if (book[x]) continue;
        book[x] = 1;

        // 扫描所有出边
        for (int i = head[x]; i != -1; i = e[i].next) {
            int v = e[i].to;
            if (dis[v] > dis[x] + e[i].w) {
                dis[v] = dis[x] + e[i].w; // 松弛
                que.push({-dis[v], v}); // 用pair实现可以把dis值赋值成负数就可以实现小根堆
            }
        }
    }

    for (int i = 1; i <= n; i++)
        cout << dis[i] << " ";
    
    cout << endl;
    return 0;
}

参考资料

单源最短路径